Zastosowanie stochastycznych równań różniczkowych wstecz do rekonstrukcji obrazów cyfrowych

O projekcie

Niech będzie ograniczoną wypukłą dziedziną w $\mathbf R^2$ , $u:\overline D \to \mathbf R^3$ będzie oryginalnym obrazem kolorowym (RGB) oraz $u_0:\overline D \to \mathbf R^3$ będzie obrazem zaobserwowanym postaci

$\displaystyle u_0=B u+\eta,$

gdzie $\eta$ oznacza biały szum gaussowski, a

jest liniowym operatorem reprezentującym rozmycie. Dysponując obrazem

musimy odtworzyć obraz oryginalny

. Przedstawione zagadnienie jest klasycznym przykładem tzw. problemu odwrotnego.

Problem odszumiania oraz wyostrzania obrazów z wykorzystaniem automatycznych i niezawodnych metod należy do najważniejszych zagadnień w dziedzinie przetwarzania obrazów oraz widzenia komputerowego. Efektywna i skuteczna rekonstrukcja jest istotnym elementem większości algorytmów przetwarzania, rozpoznawania oraz rozumienia obrazów. Algorytmy rekonstrukcji pozwalają dokonać wstępnej obróbki danych dla celów dalszej analizy, co jest szczególnie ważne w astronomii, biologii czy medycynie.

Pierwszym celem projektu jest opracowanie, zbadanie, a następnie zaimplementowanie nowej metody rozwiązywania problemu odwrotnego. Drugim celem (ważniejszym z punktu widzenia badań podstawowych) jest zaproponowanie zupełnie nowej i unikalnej w skali światowej metodologii rozwiązywania powyższego problemu.

Rozważmy jeden z najbardziej znanych sposobów rekonstrukcji obrazów cyfrowych. Jest nim splot obrazu zaszumionego z dwuwymiarową maską Gaussa. Obraz zrekonstruowany za pomocą tego filtru można wyrazić jako wartość oczekiwaną:

$\displaystyle u(x)=\mathbf{E}\left[u_0\left(x+W_T\right)\right],$

gdzie

jest dwuwymiarowym procesem Wienera startującym w zerze. Rekonstrukcja z wykorzystaniem filtru Gaussa nie daje zadowalających wyników, a otrzymany obraz ma rozmyte krawędzie. Dlatego zamiast procesu Wienera

rozważa się odpowiednio dobrany proces dyfuzji

. Ponieważ obrazy rozważa się jako funkcje określone na ograniczonym zbiorze wypukłym $\overline D$ , więc należy wprowadzić dodatkowe ograniczenie na wartości procesu

, tak aby przyjmował on wartości w zbiorze $\overline D$ . Stosujemy w tym celu tzw. problem Skorochoda. W naszym przypadku, po wyznaczeniu rozwiązania problemu Skorochoda, otrzymamy model:

$\displaystyle u(x)=\mathbf{E}\left[u_0\left(x+X_T + K_T^{\overline D}\right)\right]$

Punktem wyjścia dla dalszych rozważań jest następująca obserwacja wzorowana na metodach rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych wstecz. Z faktu, że każdy martyngał na przestrzeni z filtracją Wienera posiada reprezentację w postaci całki stochastycznej wynika, że istnieje proces

(spełniający odpowiednie warunki techniczne) o własności

$\displaystyle Y_t=\mathbf E\left[u_0\left(x+X_T + K_T^{\overline D}\right)\vert\mathcal W_t\right]=u_0(x+X_T+ K_T^{\overline D})-\int_t^TZ_s dW_s.$

W szczególności

jest procesem o ciągłych trajektoriach, a jego wartość początkowa

jest równa

. Idąc tym tropem można model uogólnić i rozważać stochastyczne równania różniczkowe wstecz postaci

$\displaystyle Y_t=u_0(x+X+K^{\overline D})+\int_t^Tf(s,Y_s,X_s+K_s^{\overline D})ds-\int_t^TZ_s dW_s, t \in[0,T]$

pamiętając, że wartość procesu

w czasie zero jest zrekonstruowanym pikselem. Odpowiednia postać zmiennej losowej $u_0(x+X+K^{\overline D})$ oraz funkcji dryfu

pozwala uzyskać efekty wygładzenia obrazu przy jednoczesnym zachowaniu krawędzi, a co ważniejsze również przy ich uwydatnieniu i wyostrzeniu.

Wykorzystywane przez nas schematy rekonstrukcji bazują na aproksymacji stochastycznych równań różniczkowych wstecz. Teoria tych równań jest stosunkowo młoda, ale rozwija się intensywnie ze względu na ważne zastosowania w innych działach matematyki. W Polsce, według naszej wiedzy, badania teoretyczne stochastycznych równań różniczkowych wstecz rozwijane są na szerszą skalę jedynie na UMK w Toruniu. Nasze spojrzenie na te równania może przynieść rozwiązanie interesujących problemów mających potencjalne zastosowania nie tylko w cyfrowym przetwarzaniu obrazów.

Zespół badawczy

Dariusz Borkowski , Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu - kierownik projektu

Katarzyna Borkowska, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy - główny wykonawca

Harmonogram (tłustym drukiem zaznaczono zadania zrealizowane)

zdefiniowanie modelu ciągłego dla obrazów z gradacją szarości

uzasadnienie teoretyczne dla obrazów z gradacją szarości

opracowanie schematów numeryczych dla obrazów z gradacją szarości

implementacja oraz eksperymentalne porównanie dla obrazów z gradacją szarości

zdefiniowanie modelu ciągłego dla obrazów RGB

uzasadnienie teoretyczne dla obrazów RGB

opracowanie schematów numeryczych dla obrazów RGB

implementacja oraz eksperymentalne porównanie dla obrazów RGB

Artykuły (będące wynikem zadania badawczego podanego w nawiasie)

Dariusz Borkowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Image Denoising Using Backward Stochastic Differential Equations Advances in Intelligent Systems and Computing, Volume 659, pages 185-194, 2017. (implementacja oraz eksperymentalne porównanie)

Dariusz Borkowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Backward Stochastic Differential Equations Driven by Multidimensional Fractional Brownian Motion, Wysłany do recenzji, 2016. (zdefiniowanie modelu ciągłego; uzasadnienie teoretyczne)

Dariusz Borkowski Forward and Backward Filtering Based on Backward Stochastic Differential Equations Inverse Problems and Imaging, Volume 10(2), pages 305-325, 2016. (zdefiniowanie modelu ciągłego; uzasadnienie teoretyczne)

Dariusz Borkowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Generalized Backward Stochastic Variational Inequalities Driven by a Fractional Brownian Motion Brazilian Journal of Probability and Statistics, Volume 30(3), pages 502-519, 2016. (zdefiniowanie modelu ciągłego; uzasadnienie teoretyczne)

Dariusz Borkowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Random NL-Means to Restoration of Colour Images Digital Image Computing Techniques and Applications (DICTA), 2015 International Conference on, IEEE, pages 1-8, 2015. (implementacja oraz eksperymentalne porównanie)

Dariusz Borkowski Non Local Means on Random Anisotropic Sub-Image International Journal of Imaging & Robotics, Volume 15(3), pages 1-13, 2015. (implementacja oraz eksperymentalne porównanie)

Dariusz Borkowski, Adam Jakubowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Feynman-Kac Formula and Restoration of High ISO Images Lecture Notes in Computer Science, Volume 8671, pages 100-107, 2014. (opracowanie schematów numeryczych; implementacja oraz eksperymentalne porównanie)

Dariusz Borkowski, Katarzyna Jańczak-Borkowska Image Restoration Using Anisotropic Stochastic Diffusion Collaborated with Non Local Means Lecture Notes in Computer Science, Volume 8104, pages 177-189, 2013. (opracowanie schematów numeryczych; implementacja oraz eksperymentalne porównanie)

Prezentacja wyników

International Conference on Man-Machine Interactions, Kraków, październik 3-6, 2017.

3rd BCN Summer School on Stochastic Analysis, Barcelona, 27 czerwiec - 1 lipiec, 2016.

International Conference on Digital Image Computing: Techniques and Applications, Adelaide, listopad 23-25, 2015.

International Conference on Computer Vision and Graphics, Warszawa, wrzesień 15-17, 2014.

International Euroasian Conference on Mathematical Sciences and Applications, Vienna, sierpień 25-28, 2014.

International Conference on Computer Information Systems and Industrial Management Applications, Kraków, wrzesień 25-27, 2013.